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[Criptonomicón] El problema matemático de la bicicleta de Turing.

Ahora, supongamos que describimos la posición de la rueda trasera por su ángulo theta. Solo para simplificar el problema, digamos que cuando la rueda empieza en la posición en que el radio doblado puede chocar con el eslabón débil (aunque solo si el eslabón está ahí para que el radio se choque con él), entonces theta=0. Si utilizamos grados como unidades, entonces durante una única vuelta de la rueda, theta irá aumentando hasta 359 antes de volver a 0, en ese punto el radio doblado estará de vuelta en la posición en la que puede golpear al eslabón débil de la cadena. Supongamos ahora que describimos la posición de la cadena con la variable C, de la siguiente manera: asignamos un número a cada eslabón de la bicicleta. El eslabón débil tiene el número cero, el siguiente el 1 y así hasta L-1 donde L es el número total de eslabones de la cadena. Una vez más por sencillez, digamos que que cuando la cadena está en la posición en que el eslabón débil puede ser golpeado por el radio doblado (aunque solo si el radio doblado está en esa posición para chocar con el eslabón) entonces C=0.

Para el objetivo de determinar cuando se caerá la cadena de la bicicleta del Dr. Turing, todo lo que necesitamos conocer sobre la bicicleta está contenido en los valores de theta y de C. Esa pareja de números define el estado de la bicicleta. La bicicleta tiene tantos estados posibles como diferentes valores de (theta y C) pero solo un de esos estados, más concretamente el estado (0,0) es el que hará que la cadena se caiga al suelo.

Supongamos que empezamos en ese estado: es decir con (theta=0, C=0), pero que la cadena no se ha caido porque el Dr. Turing (que conoce perfectamente el estado de su bicicleta en cualquier instante) se ha parado en el medio de la carretera (causando casi una colisión con su amigo y colega Lawrence Waterhouse). El Dr Turing ha hecho avanzar la cadena ligeramente alejándola un poco del radio doblado para que no choquen. Ahora se sube en la bici otra vez y la rueda va girando, mientras theta pasa de valer 0 a 359 y luego 0 otra vez al dar una vuelta completa.

Pero ¿qué pasa con la cadena? Su posición definida por C, empieza en 0 y alcanza 1 cuando el siguiente eslabón alcanza la posición fatal en que la cadena cae, luego 2 y así sucesivamente. La cadena debe moverse sincronizadamente con el pìñón en el centro de la rueda de atrás, y ese piñón tiene n dientes. Así que depués de una vuelta completa de la rueda, cuando theta=0 otra vez, C=n. Después de una segunda vuelta completa de la rueda trasera, otra vez theta=0 pero ahora C=2n. La siguiente vez es C=3n y así sucesivamente. Pero recordemos que la cadena no es un elemento lineal infinito, si no un bucle con L posiciones. Cuando C=L vuelve otra vez a ser C=0 y se repite el ciclo. Así que para calcular el valor de C hay que hacer ¿arítmetica modular? (modular arthmetic). Es decir que si la cadena tiene 100 eslabones (L=100) y el número total de eslabones que se han movido es 135, entonces el valor de C no es 135 si no 35. Cada vez que se obtiene un número mayor o igual a L, hay que restar L repetidamente hasta que se obtiene un número menor que L. Esta operación se escribe matemáticamente mod L. Así que los sucesivos valores de C, cada vez que la rueda va girando hasta llegar otra vez a theta=0 son:

Ci= n mod L, 2n mod L, 3n mod L... in mod L

donde i= 1, 2, llegando hasta infinito, más o menos, dependiendo de cuanto tiempo Turing quiera montar en su bici. Al cabo de un rato, a Waterhouse ese tiempo le parece infinitamente largo :)

Y hasta aquí llega la traducción por ahora. En el libro estudian los casos (n=20, L=100) y (n=20, L=101). Luego dicen que el asunto depende del mínimo común múltiplo, pero yo no estoy de acuerdo y creo que depende del máximo común divisor. Espero que las gentes con habilidades matemáticas que pasaís por aquí me saqueís de dudas :)

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