Aunque por acá habrá matemáticos más serios, me permito intentar contribuir a resolver tu duda: creo que TAMBIEN tienes razón, Anónima. Sólo es la forma de presentar la solución:
Ya vimos que el número de vueltas (casos no degenarados) era:
i= MCM (L, n) /n
Ahora bien, es conocido que SIEMPRE, el producto del MCM por el mcm de dos números
coincide con el producto de ambos números.
O sea, en este caso:
MCM(L,n)* mcd (L,n) = L * n
Sustituyendo arriba esta expresión, obtenemos:
i = L / mcd ( L, n)
que es TU expresión, equivalente, por tanto, a la original.
Estamos de acuerdo en que tu solución es equivalente a la mía.
Y ahora también veo, gracias a tí :), que es equivalente a lo que dicen en el libro: o sea que si MCM1>MCM2, entonces el periodo del caso 1 es mayor que el del caso 2. Pero mi duda surgía de que eso no es cierto en el caso general: hay una hipótesis ímplicita.
Voy a intentar explicarme.
En el libro dicen:
La diferencia entre el caso degenerado y el no degenerado tiene que ver con las propiedades de los números involucrados. La combinación de (n=20, L=100) tiene unas propiedades radicalmente diferentes de la combinación (n=20, L=101). La diferencia fundamental es que 20 y 101 son "primos relativos" es decir que no tienen factores comunes. Esto quiere decir que su mínimo común múltiplo, MCM, es un número grande, es de hecho igual a L*n=20*101=2020. Mientras que el MCM de 20 y 100 es solo 100. La bicicleta con L=101 tiene un periodo largo - pasa por muchos estados diferentes antes de volver al estado inicial-mientras que la bicicleta con L=100 tiene un periodo de solo unos pocos estados.
i, en el caso de que L y n sean primos relativos, es:
i=MCM(L,n)/n=L*n=L
y como L>n (no puede haber más dientes en el piñon que eslabones en la cadena)
Y tendríamos que MCM1>MCM2 y sin embargo el caso 2 tiene un periodo más largo.
Esa hipótesis implícita es lo que yo no veía claro, pero tampoco era capaz de saber porque no lo veía claro.
De hecho no lo he visto claro hasta hoy por eso no he contestado antes, espero que a pesar del retraso leas este comentario.
¡gracias!
PD: No sé si hay matemáticos más serios por aquí, históricamente ha habido algunos matemáticos serios (no sé si más) que nos leían, pero los muy {+-*/%} no han comentado nada :(
Aunque no hablemos de bicicletas, suele haber siempre más eslabones que dientes (L>n): Hay quienes llevan pulseras más extensas y valiosas que las palabras de sus bocas y otros, o los mismos, que soportan largas y pesadas cadenas y no se pueden liberar ni a mordiscos.
Gracias, Ranstom, retribuyo el saludo...y en cuanto a lo de las cadenas, me gusta la ¿metáfora? de los eslabones y dientes.
Vaya,que da para todo un tratado, no digo un comentario...
Añado algo: si de algo vale lo que he visto en mi larga y frondosa vida, hay quienes, liberados de las largas y pesadas cadenas, desesperadamente buscan aunque sea cintas de seda para sentir que las llevan: no pueden vivir con ellas, pero tampoco sin ellas...
Esto me recuerda a un perro (Oliver). El animal estaba entrenado para custodiar una Fábrica. Durante el día estaba encadenado y durante la noche hacía la ronda, de veras con su presencia sólo bastaba...porque era más bueno que Bambi. Al cerrar la fábrica, lo llevaron a la casa de familia con algo de miedo.
Pero descubrieron que Oliver NO se movía, aún suelto, si sentía un tramo de cadena o correa sobre el lomo, como si estuviera encadenado a un submarino....Años vivió Oliver y jamás intentó escapar ni dañar a alguien si del collar le colocaban un tramo de cadena: al parecer no intentaría ya querer librarse...de lo que no estaba atado.
En fin, me fui del tema, pero tal vez alguien pudiera encontrar algún paralelo con nuestras conductas...
:)
Chivis!!! pasate cuando quieras, siempre te esperamos, yo sigo encadenada a ARNETE!!!!
¡Besos!
No me deja comentar en el post de las papeleras :(
Nfer: así que estás en Paraná? Ya te haré una visita en mi próxima estadía :-D
Ambas: envidia, envidia ;) (en relación al post de "las pasteras")
